Запишем условие в виде  n(10a + b) = 10⁵b + a,  где a – пятизначное число, b – последняя цифра шестизначного числа, n – целое число от 1 до 9. Переписав это уравнение в виде  (10⁵ – n)b = (10n – 1)a,  видим, что  (10⁵ – n)b  делится на  10n – 1.

  Случай  n = 1  очевиден.

  При  n = 2, 3, 6, 8, 9  число  10n – 1  – простое двузначное (это соответственно 19, 29, 59, 79, 89), значит, цифра b на него не делится. Нетрудно проверить, что в каждом из этих случаев  10⁵ – n  также не делится на  10n – 1.

  При  n = 7  число  10n – 1  равно 69. b может делиться на 3. Но 99994 не делится на 23.

  При  n = 4  число  10n – 1  равно 39.  99996 = 39·2564.  Проверкой убеждаемся, что все пятизначные числа 2564·4, 2564·5, ..., 2564·9 подходят.

  При  n = 5  число  10n – 1  равно 49.  99995 = 7·14285.  14285 на 7 не делится, значит,  b = 7.  Действительно, число 142857 подходит.

142857, 102564, 128205, 153846, 179487, 205128, 230769, 111111, 222222, ..., 999999.