Задача
Докажите, что если положительная квадратичная иррациональность α = 
разлагается в чисто периодическую цепную дробь, то сопряженная ей квадратичная иррациональность α' = 
принадлежит интервалу (– 1, 0).
Решение
Пусть α = [
] – данная квадратичная иррациональность. Рассмотрим подходящую дробь 
(см. задачу 160601). Заменив a0 на α, получим равенство 
Значит, α является корнем трёхчлена
f(x) = Qnx² + (Qn–1 – Pn)x – Pn–1. Вторым его корнем будет сопряженная иррациональность (см. решение задачи 160624). Так как f(0) = – Pn–1 < 0 и
f(–1) = (Pn – Pn–1) + (Qn – Qn–1) > 0, то второй корень принадлежит интервалу (–1, 0).
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет