Задача
Решите в целых числах уравнение xφn+1 + yφn.
Число φ определено в задаче 160578.
Решение
Если xφn+1+yφn, то и 
где 
– число, сопряженное к φ. Значит, 
Согласноформуле Бине(см. задачу 60578) xFn+1+yFn= 0, гдеFnиFn+1– числа Фибоначчи. Поскольку числаFnиFn+1взаимно просты (см. задачу160573),
то x = kFn, y = – kFn+1. Подставив в исходное уравнение, получим 
или 
Поскольку 
то k= (–1)n+1.
Ответ
x = (–1)n+1Fn , y = (–1)nFn+1.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет