а) Предположим, что данное число целое. Так как $\frac{n^4+3}{n^2+n+1} = n^2-n+\frac{n+3}{n^2+n+1}$ то $n = -3$, либо $0 < n^2 + n + 1 < |n + 3|.$ Левое неравенство всегда верно. Рассмотрим два случая.

1. $n + 3 > 0.$ Тогда $n \le 2.$ Из значений $n = -1, 0, 1$ условию удовлетворяют только первые два.

2. $n + 3 < 0.$ Тогда $n^2 + 2n + 4 < 0,$ что невозможно. б) Если данное число целое, то и число $n = n^3 + n + 1 - (n + 1)(n^2 - n + 1)$ делится на $n$. Но $\operatorname{HOK}(n, n^2 - n + 1) = 1,$ значит, $n^2-n + 1 = 1,$ то есть $n$ равно $0$ или $1$.

а) $n = -3, -1, 0$;   б) $n = 0, 1.$