Задача
В остроугольном треугольникеABCпроведены медианаAM, биссектрисаBKи высотаCH. Может ли площадь треугольника, образованного точками пересечения этих отрезков, быть больше0, 499SABC?
Решение
Может. Рассмотрим прямоугольный треугольникABC1с катетамиAB= 1 и BC1= 2n. Проведем в нем медиануAM1, биссектрисуBK1и высотуC1H1. Площадь треугольника, образованного этими отрезками, большеSABM1-SABK1. Ясно, чтоSABK1< 1/2 и SABM1=n/2, т. е.SABM1-SABK1> (S/2) - (S/2n), гдеS=SABC1. Поэтому при достаточно большом nплощадь треугольника, образованного отрезкамиAM1,BK1и C1H1, будет больше 0, 499S. Точку C1можно слегка сдвинуть так, чтобы прямоугольный треугольникABC1превратился в остроугольный треугольникABC, а площадь треугольника, образованного точками пересечения отрезков, осталась больше 0, 499 площади треугольникаABC.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь