Олимпиадные задачи по математике - сложность 3-5 с решениями
Около остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность $\omega$ с центром $O$. Точка $A’$ диаметрально противоположна $A$ на $\omega$. На меньшей дуге $BC$ окружности $\omega$ выбрана точка $D$. Точка $D’$ симметрична $D$ относительно стороны $BC$. Прямая $A’D’$ вторично пересекает $\omega$ в точке $E$. Серединный перпендикуляр к $D’E$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Докажите, что $\angle FOG=180^\circ-2\angle BAC$.
В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Точка $I$ – центр вписанной окружности, $M$ – середина $BC$. Прямая, проходящая через $M$ и параллельная $AI$, пересекает окружность с диаметром $BC$ в точках $E$ и $F$ (точки $A$ и $E$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $BC$). Прямая, проходящая через $E$ и перпендикулярная $FI$, пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$. Найдите угол $PIQ$.
Выпуклый четырехугольник $ABCD$ таков, что $\angle B=\angle D$. Докажите, что середина диагонали $BD$ лежит на общей внутренней касательной к окружностям, вписанным в треугольники $ABC$ и $ACD$.
Внутри параллелограмма $ABCD$ взята такая точка $P$, что ∠$PDA$ = ∠$PBA$. Пусть Ω – вневписанная окружность треугольника $PAB$, лежащая против вершины $A$, а ω – вписанная окружность треугольника $PCD$. Докажите, что одна из общих касательных к Ω и ω параллельна $AD$.
На плоскости проведены три прямые, образующие остроугольный неравнобедренный треугольник. Федя, у которого есть циркуль и линейка, хочет провести все высоты этого треугольника. Ваня с ластиком пытается ему помешать. За ход Федя проводит либо прямую через две отмеченные точки, либо окружность с центром в отмеченной точке, проходящую через другую отмеченную точку. После этого Федя отмечает любое количество точек (точки пересечения проведенных линий, случайные точки на проведенных линиях и случайные точки плоскости). Ваня за ход стирает не более трех отмеченных точек. (Федя не может использовать стертые точки в своих построениях, пока не отметит их снова). Ходят по очереди, начинает Федя. Изначально никакие точки плоскости не отмечены. Может ли Федя провести высоты?
Внутри остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$ отмечена точка $T$, такая что $\angle ATB = \angle BTC = 120^\circ$. Окружность с центром $E$ проходит через середины сторон треугольника $ABC$. Оказалось, что точки $B,T,E$ лежат на одной прямой. Найдите угол $ABC$.
В шестиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ никакие четыре вершины не лежат на одной окружности, а диагонали $A_1A_4$, $A_2A_5$ и $A_3A_6$ пересекаются в одной точке. Обозначим через $l_i$ радикальную ось окружностей $A_iA_{i+1}A_{i-2}$ и $A_iA_{i-1}A_{i+2}$ (мы считаем, что точки $A_i$ и $A_{i+6}$ совпадают). Докажите, что прямые $l_i$, $i=1,\ldots,6$, пересекаются в одной точке.
В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $O$ и $H$ – центр описанной окружности и ортоцентр соответственно, $AB < AC$. Прямая, проходящая через середину $K$ отрезка $AH$ и перпендикулярная $OK$, пересекает сторону $AB$ и касательную к описанной окружности в точке $A$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что $\angle XOY=\angle AOB$.
Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности с центром <i>I</i> и вписан в окружность Ω. Прямые <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а прямые <i>BC</i> и <i>AD</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что описанная окружность ω треугольника <i>PIQ</i> перпендикулярна Ω.
Пусть <i>AK</i> и <i>BL</i> – высоты остроугольного треугольника <i>ABC</i>, а Ω – вневписанная окружность <i>ABC</i>, касающаяся стороны <i>AB</i>. Общие внутренние касательные к описанной окружности ω треугольника <i>CKL</i> и окружности Ω пересекают прямую <i>AB</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что <i>AP = BQ</i>.
Диагонали вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Окружность ω касается отрезка <i>MA</i> в точке <i>P</i>, отрезка <i>MD</i> в точке <i>Q</i> и описанной окружности Ω четырёхугольника <i>ABCD</i> в точке <i>X</i>. Докажите, что <i>X</i> лежит на радикальной оси описанных окружностей ω<sub><i>Q</i></sub> и ω<sub><i>P</i></sub> треугольников <i>ACQ</i> и <i>BDP</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> прямая <i>m</i> касается вписанной окружности ω. Прямые, проходящие через центр <i>I</i> окружности ω и перпендикулярные <i>AI, BI, CI</i>, пересекают прямую <i>m</i> в точках <i>A', B', C'</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>AA', BB', CC'</i> пересекаются в одной точке.
Дан треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, пересекающая прямые <i>BC, AC, AB</i> в точках <i>L<sub>a</sub>, L<sub>b</sub>, L<sub>c</sub></i>. Перпендикуляр, восставленный из точки <i>L<sub>a</sub></i> к <i>BC</i>, пересекает <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>A<sub>b</sub></i> и <i>A<sub>c</sub></i> соответственно. Точка <i>O<sub>a</sub></i> – центр описанной окружности треугольника <i>AA<sub>b</sub>A<sub>c</sub></i>. Аналогично определим <i>O<sub>b</sub></i> и <i>O<sub>c</sub></i>. Докажите,...
В треугольнике <i>ABC</i> серединный перпендикуляр к <i>BC</i> пересекает прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>A<sub>B</sub></i> и <i>A<sub>C</sub></i> соответственно. Обозначим через <i>O<sub>a</sub></i> центр описанной окружности треугольника <i>AA<sub>B</sub>A<sub>C</sub></i>. Аналогично определим <i>O<sub>b</sub></i> и <i>O<sub>c</sub></i>. Докажите, что описанная окружность треугольника <i>O<sub>a</sub>O<sub>b</sub>O<sub>c</sub></i> касается описанной окружности исходного треугольника.