Олимпиадные задачи по математике - сложность 3 с решениями

Около остроугольного треугольника $ABC$ описана окружность $\omega$ с центром $O$. Точка $A’$ диаметрально противоположна $A$ на $\omega$. На меньшей дуге $BC$ окружности $\omega$ выбрана точка $D$. Точка $D’$ симметрична $D$ относительно стороны $BC$. Прямая $A’D’$ вторично пересекает $\omega$ в точке $E$. Серединный перпендикуляр к $D’E$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $F$ и $G$ соответственно. Докажите, что $\angle FOG=180^\circ-2\angle BAC$.

Внутри параллелограмма $ABCD$ взята такая точка $P$, что  ∠$PDA$ = ∠$PBA$.  Пусть Ω – вневписанная окружность треугольника $PAB$, лежащая против вершины $A$, а ω – вписанная окружность треугольника $PCD$. Докажите, что одна из общих касательных к Ω и ω параллельна $AD$.

На плоскости проведены три прямые, образующие остроугольный неравнобедренный треугольник. Федя, у которого есть циркуль и линейка, хочет провести все высоты этого треугольника. Ваня с ластиком пытается ему помешать. За ход Федя проводит либо прямую через две отмеченные точки, либо окружность с центром в отмеченной точке, проходящую через другую отмеченную точку. После этого Федя отмечает любое количество точек (точки пересечения проведенных линий, случайные точки на проведенных линиях и случайные точки плоскости). Ваня за ход стирает не более трех отмеченных точек. (Федя не может использовать стертые точки в своих построениях, пока не отметит их снова). Ходят по очереди, начинает Федя. Изначально никакие точки плоскости не отмечены. Может ли Федя провести высоты?

Внутри остроугольного неравнобедренного треугольника $ABC$ отмечена точка $T$, такая что $\angle ATB = \angle BTC = 120^\circ$. Окружность с центром $E$ проходит через середины сторон треугольника $ABC$. Оказалось, что точки $B,T,E$ лежат на одной прямой. Найдите угол $ABC$.

В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $O$ и $H$ – центр описанной окружности и ортоцентр соответственно, $AB < AC$. Прямая, проходящая через середину $K$ отрезка $AH$ и перпендикулярная $OK$, пересекает сторону $AB$ и касательную к описанной окружности в точке $A$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что $\angle XOY=\angle AOB$.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности с центром <i>I</i> и вписан в окружность Ω. Прямые <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а прямые <i>BC</i> и <i>AD</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что описанная окружность ω треугольника <i>PIQ</i> перпендикулярна Ω.

Дан треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, пересекающая прямые <i>BC, AC, AB</i> в точках <i>L_a, L_b, L_c</i>. Перпендикуляр, восставленный из точки <i>L_a</i> к <i>BC</i>, пересекает <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>A_b</i> и <i>A_c</i> соответственно. Точка <i>O_a</i> – центр описанной окружности треугольника <i>AA_bA_c</i>. Аналогично определим <i>O_b</i> и <i>O_c</i>. Докажите,...