Олимпиадные задачи по математике для 9-10 класса
В прямоугольный треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся гипотенузы $AB$ в точке $T$. Квадраты $ATMP$ и $BTNQ$ лежат вне треугольника. Докажите, что площади треугольников $ABC$ и $TPQ$ равны.
На вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>, касающейся стороны <i>AC</i> в точке <i>S</i>, нашлась такая точка <i>Q</i>, что середины отрезков <i>AQ</i> и <i>QC</i> также лежат на вписанной окружности. Докажите, что <i>QS</i> – биссектриса угла <i>AQC</i>.
Внутри трапеции <i>ABCD</i> с основаниями <i>AD</i> и <i>BC</i> отмечены точки <i>M</i> и <i>N</i> так, что <i>AM = CN</i> и <i>BM = DN</i>, а четырёхугольники <i>AMND</i> и <i>BMNC</i> – вписанные. Докажите, что прямая <i>MN</i> параллельна основаниям трапеции.
В треугольнике <i>ABC</i> на сторонах <i>AC</i>, <i>BC</i> и <i>AB</i> отметили точки <i>D, E</i> и <i>F</i> соответственно, так, что <i>AD = AB, EC = DC, BF = BE</i>. После этого стёрли всё, кроме точек <i>E, F</i> и <i>D</i>. Восстановите треугольник <i>ABC</i>.