Олимпиадные задачи по математике - сложность 2-5 с решениями
На сторонах $AB,BC,CA$ треугольника $ABC$ выбраны точки $C_1,A_1,B_1$ так, что отрезки $AA_1,BB_1,CC_1$ пересекаются в одной точке. Лучи $B_1A_1$ и $B_1C1$ пересекают описанную окружность в точках $A_2$ и $C_2$. Докажите, что точки $A,C,$ точка пересечения $A_2C_2$ с $BB_1$ и середина $A_2C_2$ лежат на одной окружности.
В четырёхугольнике <i>ABCD</i> вписанная окружность ω касается сторон <i>BC</i> и <i>DA</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> соответственно. Оказалось, что прямые <i>AB, FE</i> и <i>CD</i> пересекаются в одной точке <i>S</i>. Описанные окружности Ω и Ω<sub>1</sub> треугольников <i>AED</i> и <i>BFC</i>, вторично пересекают окружность ω в точках <i>E</i><sub>1</sub> и <i>F</i><sub>1</sub>. Докажите, что прямые <i>EF</i> и <i>E</i><sub>1</sub><i>F</i><sub>1</sub> параллельны.
Петя и Вася играют в игру на клетчатой доске <i>n×n</i> (где <i>n</i> > 1). Изначально вся доска белая, за исключением угловой клетки – она чёрная, и в ней стоит ладья. Игроки ходят по очереди. Каждым ходом игрок передвигает ладью по горизонтали или вертикали, при этом все клетки, через которые ладья перемещается (включая ту, в которую она попадает), перекрашиваются в чёрный цвет. Ладья не должна передвигаться через чёрные клетки или останавливаться на них. Проигрывает тот, кто не может сделать ход; первым ходит Петя. Кто выиграет при правильной игре?