Олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями

Окружность $\omega_1$ проходит через вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ и касается лучей $CB$, $CD$. Окружность $\omega_2$ касается лучей $AB$, $AD$ и касается внешним образом $\omega_1$ в точке $T$. Докажите, что $T$ лежит на диагонали $AC$.

Пусть $M$ – середина гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$. Окружность, проходящая через $C$ и $M$, пересекает прямые $BC$ и $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Пусть $c_1, c_2$ – окружности с центрами $P$, $Q$ и радиусами $BP$, $AQ$ соответственно. Докажите, что $c_1$, $c_2$ и описанная окружность треугольника $ABC$ проходят через одну точку.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> точка <i>D</i> – середина высоты, опущенной на гипотенузу <i>AB</i>. Прямые, симметричные <i>AB</i> относительно <i>AD</i> и <i>BD</i>, пересекаются в точке <i>F</i>. Найдите отношение площадей треугольников <i>ABF</i> и <i>ABC</i>.