Олимпиадные задачи по математике для 2-8 класса
Даны два одинаково ориентированных квадрата $A_1A_2A_3A_4$ и $B_1B_2B_3B_4$. Серединные перпендикуляры к отрезкам $A_1B_1$, $A_2B_2$, $A_3B_3$, $A_4B_4$ пересекают серединные перпендикуляры к отрезкам $A_2B_2$, $A_3B_3$, $A_4B_4$, $A_1B_1$ в точках $P$, $Q$, $R$, $S$ соответственно. Докажите, что $PR\perp QS$.
В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $I$, касающаяся сторон $CA$, $AB$ в точках $E$, $F$ соответственно. Точки $M$, $N$ на прямой $EF$ таковы, что $CM=CE$ и $BN=BF$. Прямые $BM$ и $CN$ пересекаются в точке $P$. Докажите, что прямая $PI$ делит пополам отрезок $MN$.
Дан квадрат $ABCD$ с центром $O$. Из точки $P$, лежащей на меньшей дуге $CD$ описанной около квадрата окружности, проведены касательные к его вписанной окружности, пересекающие сторону $CD$ в точках $M$ и $N$. Прямые $PM$ и $PN$ пересекают отрезки $BC$ и $AD$ соответственно в точках $Q$ и $R$. Докажите, что медиана треугольника $OMN$ из вершины $O$ перпендикулярна отрезку $QR$ и равна его половине.
Вокруг квадрата <i>ABCD</i> описана окружность. Точка <i>P</i> лежит на дуге <i>CD</i> этой окружности, не содержащей других вершин квадрата. Прямые <i>PA, PB</i> пересекают диагонали <i>BD, AC</i> соответственно в точках <i>K, L</i>. Точки <i>M, N</i> – проекции <i>K, L</i> соответственно на <i>CD</i>, а <i>Q</i> – точка пересечения прямых <i>KN</i> и <i>ML</i>. Докажите, что прямая <i>PQ</i> делит отрезок <i>AB</i> пополам.
Дан треугольник <i>ABC</i> и точка <i>P</i>. Точки <i>A', B', C'</i> – проекции <i>P</i> на прямые <i>BC, CA, AB</i>. Прямая, проходящая через <i>P</i> и параллельная <i>AB</i>, вторично пересекает описанную окружность треугольника <i>PA'B'</i> в точке <i>C</i><sub>1</sub>. Точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> определены аналогично. Докажите, что
а) прямые <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub>, <i>CC</i><sub>1</sub> пересекаются в одной точке;
б) треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i>...
Пусть <i>M</i> – середина хорды <i>AB</i> окружности с центром <i>O</i>. Точка <i>K</i> симметрична <i>M</i> относительно <i>O, P</i> – произвольная точка окружности. Перпендикуляр к <i>AB</i> в точке <i>A</i> и перпендикуляр к <i>PK</i> в точке <i>P</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Точка <i>H</i> – проекция <i>P</i> на <i>AB</i>. Докажите, что прямая <i>QB</i> делит отрезок <i>PH</i> пополам.