Олимпиадные задачи по математике - сложность 3 с решениями
Пусть $O$ – центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$. На стороне $BC$ отметили точку $D$. Окружности, описанные около треугольников $BOD$ и $COD$, повторно пересекают отрезки $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Докажите, что из отрезков $BX$, $XY$ и $YC$ можно сложить треугольник.
Даны две равные окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ с центрами $O_1$ и $O_2$. На отрезке $O_1O_2$ взяты точки $X$ и $Y$ так, что $O_1Y = O_2X$. Точки $A$ и $B$ лежат на $\omega_1$, и прямая $AB$ проходит через $X$. Точки $C$ и $D$ лежат на $\omega_2$, и прямая $CD$ проходит через $Y$. Докажите, что существует окружность, касающаяся прямых $AO_1$, $BO_1$, $CO_2$ и $DO_2$.<img width="600" src="/storage/problem-media/67433/problem_67433_img_2.png">
Из центра $O$ описанной окружности Ω треугольника $ABC$ опустили перпендикуляры $OP$ и $OQ$ на биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине $B$.
Докажите, что прямая $PQ$ делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон $CB$ и $AB$.
Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к $BC$ пересекает $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$. Прямая $AO$ пересекает прямую $BC$ в точке $D$, $M$ — середина $BC$. Описанная окружность треугольника $ADM$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $E$, отличной от $A$. Докажите, что прямая $OE$ касается описанной окружности треугольника $AXY$.
В остроугольном треугольнике $ABC$ ($AB$<$BC$) провели высоту $BH$. Точка $P$ симметрична точке $H$ относительно прямой, соединяющей середины сторон $AC$ и $BC$. Докажите, что прямая $BP$ содержит центр описанной окружности треугольника $ABC$.
Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пусть ω<sub><i>A</i></sub>, ω<sub><i>B</i></sub>, ω<sub><i>C</i></sub>, ω<sub><i>D</i></sub> – описанные окружности треугольников <i>BCD, ACD, ABD, ABC</i> соответственно. Обозначим через <i>X<sub>A</sub></i> произведение степени точки <i>A</i> относительно ω<i>A</i> на площадь треугольника <i>BCD</i>. Аналогично определим <i>X<sub>B</sub>, X<sub>C</sub>, X<sub>D</sub></i>. Докажите, что <i>X<sub>A</sub> + X<sub>B</sub> + X<sub>C</sub> + X<sub>D</sub></i> = 0.
Пусть <i>H</i> – ортоцентр остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Серединный перпендикуляр к отрезку <i>BH</i> пересекает стороны <i>BA, BC</i> в точках <i>A</i><sub>0</sub>, <i>C</i><sub>0</sub> соответственно. Докажите, что периметр треугольника <i>A</i><sub>0</sub><i>OC</i><sub>0</sub> (<i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>) равен <i>AC</i>.
Пусть <i>H</i> и <i>O</i> – ортоцентр и центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Описанная окружность треугольника <i>AOH</i>, пересекает серединный перпендикуляр к <i>BC</i> в точке <i>A</i><sub>1</sub>. Аналогично определяются точки <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что прямые <i>AA</i><sub>1</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub> и <i>CC</i><sub>1</sub> пересекаются в одной точке.