Олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
Саша записывает числа 1, 2, 3, 4, 5 в каком-нибудь порядке, расставляет знаки арифметических операций «$+$», «$-$», «$\times$» и скобки и смотрит на результат полученного выражения. Например, он может получить число 8 с помощью выражения $(4 - 3) \times (2 + 5) + 1$. Может ли он получить число 123? Формировать числа из нескольких других нельзя (например, из чисел 1 и 2 нельзя составить число 12).
Существует ли такое натуральное $n$, что для любых вещественных чисел $x$ и $y$ найдутся вещественные числа $a_1, \ldots, a_n$, удовлетворяющие равенствам $$x = a_1 + \ldots + a_n\quad \text{и} \quad y = \frac{1}{a_1}+ \ldots + \frac{1}{a_n}?$$
Дана окружность ω с центром $O$ и две её различные точки $A$ и $C$. Для любой другой точки $P$ на ω отметим середины $X$ и $Y$ отрезков $AP$ и $CP$ и построим точку $H$ пересечения высот треугольника $OXY$. Докажите, что положение точки $H$ не зависит от выбора точки $P$.
Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>H</i> и <i>O</i> – его ортоцентр и центр описанной окружности соответственно. Серединный перпендикуляр к отрезку <i>BH</i> пересекает стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что <i>OB</i> – биссектриса угла <i>A</i><sub>1</sub><i>OC</i><sub>1</sub>.
Через вершину <i>B</i> правильного треугольника <i>ABC</i> проведена прямая <i>l</i>. Окружность ω<sub><i>a</i></sub> с центром <i>I<sub>a</sub></i> касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A</i><sub>1</sub> и прямых <i>l</i> и <i>AC</i>. Окружность ω<sub><i>c</i></sub> с центром <i>I<sub>c</sub></i> касается стороны <i>BA</i> в точке <i>C</i><sub>1</sub> и прямых <i>l</i> и <i>AC</i>. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>BC</i><sub>1</sub> лежит на прямой <i>I<sub&g...