Олимпиадные задачи по математике для 9 класса
Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором <i>BC = a</i>, <i>AB = AC = b</i>. На стороне <i>AC</i> во внешнюю сторону построен треугольник <i>ADC</i>, в котором
<i>AD = DC = a</i>. Пусть <i>CM</i> и <i>CN</i> – биссектрисы в треугольниках <i>ABC</i> и <i>ADC</i> соответственно. Найдите радиус описанной окружности треугольника <i>CMN</i>.
В треугольнике <i>ABC O</i> – центр описанной окружности, <i>H</i> – ортоцентр. Через середину <i>OH</i> параллельно <i>BC</i> проведена прямая, пересекающая стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>D</i> и <i>E</i>. Оказалось, что <i>O</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ADE</i>. Найдите углы треугольника <i>ABC</i>.
Квадрат <i>ABCD</i> вписан в окружность. Точка <i>M</i> лежит на дуге <i>BC</i>, прямая <i>AM</i> пересекает <i>BD</i> в точке <i>P</i>, прямая <i>DM</i> пересекает <i>AC</i> в точке <i>Q</i>.
Докажите, что площадь четырёхугольника <i>APQD</i> равна половине площади квадрата.
В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>M </i>– середина <i>AB</i>, а точка <i>D</i> – основание высоты <i>CD</i>. Докажите, что ∠<i>A</i> = 2∠<i>B</i> тогда и только тогда, когда <i>AC</i> = 2<i>MD</i>.
В неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> проведены высота из вершины <i>A</i> и биссектрисы из двух других вершин.
Докажите, что описанная окружность треугольника, образованного этими тремя прямыми, касается биссектрисы, проведённой из вершины <i>A</i>.