Олимпиадные задачи по математике для 2-8 класса

Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором  <i>BC = a</i>,  <i>AB = AC = b</i>.  На стороне <i>AC</i> во внешнюю сторону построен треугольник <i>ADC</i>, в котором

<i>AD = DC = a</i>.  Пусть <i>CM</i> и <i>CN</i> – биссектрисы в треугольниках <i>ABC</i> и <i>ADC</i> соответственно. Найдите радиус описанной окружности треугольника <i>CMN</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> точка <i>M </i>– середина <i>AB</i>, а точка <i>D</i> – основание высоты <i>CD</i>. Докажите, что  ∠<i>A</i> = 2∠<i>B</i>  тогда и только тогда, когда  <i>AC</i> = 2<i>MD</i>.

В неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> проведены высота из вершины <i>A</i> и биссектрисы из двух других вершин.

Докажите, что описанная окружность треугольника, образованного этими тремя прямыми, касается биссектрисы, проведённой из вершины <i>A</i>.