Олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> провели высоты <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁, которые пересекаются в точке <i>O</i>. Затем провели высоту <i>A</i>₁<i>A</i>₂ треугольника <i>OBA</i>₁ и высоту <i>B</i>₁<i>B</i>₂ треугольника <i>OAB</i>₁. Докажите, что отрезок <i>A</i>₂<i>B</i>₂ параллелен стороне <i>AB</i>.

Внутри окружности расположен прямоугольник $ABCD$. Лучи $BA$ и $DA$ пересекают окружность в точках $A_1$ и $A_2$. Точка $A_0$ – середина хорды $A_1A_2$. Аналогично определяются точки $B_0$, $C_0$, $D_0$. Докажите, чтоотрезки $A_0C_0$ и $B_0D_0$ равны.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C$ прямой) $BC=2AC$, $CH$ – высота, $O_1$ и $O_2$ – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники $ACH$ и $BCH$, а $O$ – центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Пусть $H_1$, $H_2$ и $H_0$ – проекции точек $O_1$, $O_2$ и $O$ на гипотенузу. Докажите, что $H_1H=HH_0=H_0H_2$.

Внутри квадрата расположены три окружности, каждая из которых касается внешним образом двух других, а также касается двух сторон квадрата. Докажите, что радиусы двух из данных окружностей одинаковы.

В параллелограмме <i>ABCD</i> провели трисектрисы углов <i>A</i> и <i>B</i>. Трисектрисы, ближние к стороне <i>AB</i>, пересекаются в точке <i>O</i>. Обозначим пересечение трисектрисы <i>AO</i> со второй трисектрисой угла <i>B</i> через <i>A</i>₁, а пересечение трисектрисы <i>BO</i> со второй трисектрисой угла <i>A</i> через <i>B</i>₁. Пусть <i>M</i> – середина отрезка <i>A</i>₁<i>B</i>₁, а прямая <i>MO</i> пересекает сторону <i>AB</i> в точке <i>N</i>. Докажите, что треугольник <i>A</i>...

Окружность отсекает от прямоугольника <i>ABCD</i> четыре прямоугольных треугольника, середины гипотенуз которых <i>A</i>₀, <i>B</i>₀, <i>C</i>₀ и <i>D</i>₀ соответственно.

Докажите, что отрезки <i>A</i>₀<i>C</i>₀ и <i>B</i>₀<i>D</i>₀ равны.

В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>  (<i>AC = BC</i>)  угол при вершине <i>C</i> равен 20°. Биссектрисы углов <i>A</i> и <i>B</i> пересекают боковые стороны треугольника соответственно в точках <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁. Докажите, что треугольник <i>A</i>₁<i>OB</i>₁ (где <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>) является равносторонним.