Олимпиадные задачи по математике для 10 класса
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> провели высоты <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub>, которые пересекаются в точке <i>O</i>. Затем провели высоту <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub> треугольника <i>OBA</i><sub>1</sub> и высоту <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> треугольника <i>OAB</i><sub>1</sub>. Докажите, что отрезок <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub> параллелен стороне <i>AB</i>.
Дана бесконечная последовательность чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ... Известно, что для любого номера <i>k</i> можно указать такое натуральное число <i>t</i>, что
<i>a<sub>k</sub> = a<sub>k+t</sub> = a</i><sub><i>k</i>+2<i>t</i></sub> = ... Обязательно ли тогда эта последовательность периодическая, то есть существует ли такое натуральное <i>T</i>, что <i>a<sub>k</sub> = a<sub>k+T</sub></i> при любом натуральном <i>k</i>?
Внутри окружности расположен прямоугольник $ABCD$. Лучи $BA$ и $DA$ пересекают окружность в точках $A_1$ и $A_2$. Точка $A_0$ – середина хорды $A_1A_2$. Аналогично определяются точки $B_0$, $C_0$, $D_0$. Докажите, чтоотрезки $A_0C_0$ и $B_0D_0$ равны.
Два квадрата расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что площади заштрихованных четырёхугольников равны. <div align="center"><img src="/storage/problem-media/65649/problem_65649_img_2.png"></div>
В трапеции <i>ABCD</i> биссектрисы углов <i>A</i> и <i>D</i> пересекаются в точке <i>E</i>, лежащей на боковой стороне <i>BC</i>. Эти биссектрисы разбивают трапецию на три треугольника, в которые вписали окружности. Одна из этих окружностей касается основания <i>AB</i> в точке <i>K</i>, а две другие касаются биссектрисы <i>DE</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Докажите, что <i>BK = MN</i>.