Олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i>, касается катетов <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>B</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>1</sub>, а гипотенузы – в точке <i>C</i><sub>1</sub>. Прямые <i>C</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> пересекают <i>CA</i> и <i>CB</i> соответственно в точках <i>B</i><sub>0</sub> и <i>A</i><sub>0</sub>. Докажите, что <i>AB</i><sub>0</sub> = <i>BA</i><sub>0</sub>.
Через вершину <i>B</i> правильного треугольника <i>ABC</i> проведена прямая <i>l</i>. Окружность ω<sub><i>a</i></sub> с центром <i>I<sub>a</sub></i> касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A</i><sub>1</sub> и прямых <i>l</i> и <i>AC</i>. Окружность ω<sub><i>c</i></sub> с центром <i>I<sub>c</sub></i> касается стороны <i>BA</i> в точке <i>C</i><sub>1</sub> и прямых <i>l</i> и <i>AC</i>. Докажите, что ортоцентр треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>BC</i><sub>1</sub> лежит на прямой <i>I<sub&g...