Олимпиадные задачи по математике для 4-11 класса - сложность 2 с решениями
Можно ли нарисовать 1006 различных 2012-угольников, у которых все вершины общие, но при этом ни у каких двух нет ни одной общей стороны?
Пусть <i>C</i>(<i>n</i>) – количество различных простых делителей числа <i>n</i>. (Например, <i>C</i>(10) = 2, <i>C</i>(11) = 1, <i>C</i>(12) = 2.)
Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел (<i>a, b</i>), что <i>a ≠ b</i> и <i>C</i>(<i>a + b</i>) = <i>C</i>(<i>a</i>) + <i>C</i>(<i>b</i>)?
Существует ли натуральное число, у которого нечётное количество чётных натуральных делителей и чётное количество нечётных?
На доске написано несколько натуральных чисел. Сумма любых двух из них – натуральная степень двойки.
Какое наибольшее число различных может быть среди чисел на доске?
На плоскости даны шесть точек. Известно, что их можно разбить на две тройки так, что получатся два треугольника. Всегда ли можно разбить эти точки на две тройки так, чтобы получились два треугольника, которые не имеют друг с другом никаких общих точек (ни внутри, ни на границе)?
У менялы на базаре есть много ковров. Он согласен взамен ковра размера <i>a</i>×<i>b</i> дать либо ковёр размера <sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub>×<sup>1</sup>/<sub><i>b</i></sub>, либо два ковра размеров <i>c</i>×<i>b</i> и <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>c</i></sub>×<i>b</i> (при каждом таком обмене число <i>c</i> клиент может выбрать сам). Путешественник рассказал, что изначально у него был один ковёр, стороны которого превосходили 1, а после нескольких таких обменов у него оказался набор ковров, у каждого из которых одна сторона длиннее 1, а другая – короче 1. Не обманывает ли он? (По просьбе клиента...
Квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i>, не имеющий корней, таков, что коэффициент <i>b</i> рационален, а среди чисел <i>c</i> и <i>f</i>(<i>c</i>) ровно одно иррационально.
Может ли дискриминант трёхчлена <i>f</i>(<i>x</i>) быть рациональным?
Квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i><sup>2</sup> + <i>bx + c</i> принимает в точках <sup>1</sup>/<sub><i>a</i></sub> и <i>c</i> значения разных знаков.
Докажите, что корни трёхчлена <i>f</i>(<i>x</i>) имеют разные знаки.
Есть 100 красных, 100 жёлтых и 100 зелёных палочек. Известно, что из любых трёх палочек трёх разных цветов можно составить треугольник.
Докажите, что найдётся такой цвет, что из любых трёх палочек этого цвета можно составить треугольник.
Найдите все <i>n</i>, при которых для любых двух многочленов <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>Q</i>(<i>x</i>) степени <i>n</i> найдутся такие одночлены <i>ax<sup>k</sup></i> и <i>bx<sup>l</sup></i>
(0 ≤ <i>k ≤ n</i>, 0 ≤ <i>l ≤ n</i>), что графики многочленов <i>P</i>(<i>x</i>) + <i>ax<sup>k</sup></i> и <i>Q</i>(<i>x</i>) + <i>bx<sup>l</sup></i> не будут иметь общих точек.