Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 2 с решениями
Дан треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Точки $K$, $L$, $M$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CA$ соответственно, $N$ – точка на стороне $AB$. Прямая $CN$ пересекает $KM$ и $KL$ в точках $P$ и $Q$. Точки $S$, $T$ на сторонах $AC$, $BC$ таковы, что четырехугольники $APQS$, $BPQT$ – вписанные. Докажите, что а) если $CN$ – биссектриса, то прямые $CN$, $ML$, $ST$ пересекаются в одной точке;
б) если $CN$ – высота, то $ST$ проходит через середину $ML$.
На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>M</i>. В треугольнике <i>ACM</i> точка <i>I</i><sub>1</sub> – центр вписанной, <i>J</i><sub>1</sub> – центр вневписанной окружности, касающейся стороны <i>CM</i>. В треугольнике <i>BCM</i> точка <i>I</i><sub>2</sub> – центр вписанной, <i>J</i><sub>2</sub> центр вневписанной окружности, касающейся стороны <i>CM</i>. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков <i>I</i><sub>1</sub><i>I</i><sub>2</sub> и <i>J</i><sub>1</sub><i>J</i><sub>2</sub> перп...
Высоты <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub> треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Прямая <i>CH</i> пересекает полуокружность с диаметром <i>AB</i>, проходящую через точки <i>A</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>1</sub>, в точке <i>D</i>. Отрезки <i>AD</i> и <i>BB</i><sub>1</sub> пересекаются в точке <i>M, BD</i> и <i>AA</i><sub>1</sub> – в точке <i>N</i>. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>B</i><sub>1</sub><i>DM</i> и <i>A</i><sub>1</sub><i>DN</i&g...