Олимпиадные задачи по математике для 4-9 класса - сложность 4 с решениями

На стороне <i>BC</i> квадрата <i>ABCD</i> выбрали точку <i>M</i>. Пусть <i>X, Y, Z</i> – центры окружностей, вписанных в треугольники <i>ABM, CMD, AMD</i> соответственно; <i>H_x, H_y, H_z</i> – ортоцентры треугольников <i>AXB, CYD, AZD</i> соответственно. Докажите, что точки <i>H_x, H_y, H_z</i> лежат на одной прямой.

<i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ – высоты треугольника <i>ABC,  B</i>₀ – точка пересечения <i>BB</i>₁ и описанной окружности Ω, <i>Q</i> – вторая точка пересечения Ω и описанной окружности ω треугольника <i>A</i>₁<i>C</i>₁<i>B</i>₀. Докажите, что <i>BQ</i> – симедиана треугольника <i>ABC</i>.