Олимпиадные задачи по математике - сложность 3 с решениями
В каждой клетке квадрата 101<i>×</i>101, кроме центральной, стоит один из двух знаков: "поворот" или "прямо". Машинка въезжает извне в произвольную клетку на границе квадрата, после чего ездит параллельно сторонам клеток, придерживаясь двух правил:
1) в клетке со знаком "прямо" она продолжает путь в том же направлении;
2) в клетке со знаком "поворот" она поворачивает на 90° (в любую сторону по своему выбору).
Центральную клетку квадрата занимает дом. Можно ли расставить знаки так, чтобы у машинки не было возможности врезаться в дом?
У игрока есть <i>m</i> золотых и <i>n</i> серебряных монет. В начале каждого раунда игрок ставит какие-то монеты на красное, какие-то на чёрное (можно вообще ничего не ставить на один из цветов, часть монет можно никуда не ставить). В конце каждого раунда крупье объявляет, что один из цветов выиграл. Ставку на выигравший цвет крупье отдаёт игроку, удваивая в ней количество монет каждого вида, а ставку на проигравший цвет забирает себе. Игрок хочет, чтобы монет одного вида у него стало ровно в три раза больше, чем другого (в частности, его устроит остаться совсем без денег). При каких <i>m</i> и <i>n</i> крупье не сможет ему помешать?
Дана бесконечная последовательность многочленов <i>P</i><sub>1</sub>(<i>x</i>), <i>P</i><sub>2</sub>(<i>x</i>), ... . Всегда ли существует конечный набор функций <i>f</i><sub>1</sub>(<i>x</i>), <i>f</i><sub>2</sub>(<i>x</i>), ..., <i>f</i><sub><i>N</i></sub>(<i>x</i>), композициями которых можно записать любой из них (например, <i>P</i><sub>1</sub>(<i>x</i>) = <i>f</i><sub>2</sub>(<i>f</i><sub>1</sub>(<i>f</i><sub>2</sub>(<i>x</i>))))?
Боря задумал целое число, большее 100. Кира называет целое число, большее 1. Если Борино число делится на это число, Кира выиграла, иначе Боря вычитает из своего числа названное, и Кира называет следующее число. Ей запрещается повторять числа, названные ранее. Если Борино число станет отрицательным – Кира проигрывает. Есть ли у неё выигрышная стратегия?
В каждой клетке таблицы $N\times N$ записано число. Назовём клетку $C$<i>хорошей</i>, если в какой-то из клеток, соседних с $C$ по стороне, стоит число на 1 больше, чем в $C$, а в какой-то другой из клеток, соседних с $C$ по стороне, стоит число на 3 больше, чем в $C$. Каково наибольшее возможное количество хороших клеток?