Олимпиадные задачи по математике - сложность 2 с решениями

На сторонах единичного квадрата отметили точки <i>K, L, M</i> и <i>N</i> так, что прямая <i>KM</i> параллельна двум сторонам квадрата, а прямая <i>LN</i> – двум другим сторонам квадрата. Отрезок <i>KL</i> отсекает от квадрата треугольник периметра 1. Треугольник какой площади отсекает от квадрата отрезок <i>MN</i>?

Имеется много одинаковых прямоугольных картонок размером <i>a</i>×<i>b</i> см, где <i>a</i> и <i>b</i> – целые числа, причём  <i>a < b</i>.  Известно, что из таких картонок можно сложить и прямоугольник 49×51 см, и прямоугольник 99×101 см. Можно ли по этим данным однозначно определить <i>a</i> и <i>b</i>?

На плоскости расположены круг и правильный 100-угольник, имеющие одинаковые площади. Какое наибольшее количество вершин 100-угольника может находиться внутри круга (не на границе)?

Петя взял произвольное натуральное число, умножил его на 5, результат снова умножил на 5, потом ещё на 5, и так далее.

Верно ли, что с какого-то момента все получающиеся у Пети числа будут содержать 5 в своей десятичной записи?

Пять отрезков провели (не отрывая карандаша от бумаги) так, что получилась пятиугольная звезда, разделённая проведёнными отрезками на пять треугольников и пятиугольник. Оказалось, что все пять треугольников равны. Обязательно ли пятиугольник правильный?

На доске написаны три натуральных числа. Петя записывает на бумажке произведение каких-нибудь двух из этих чисел, а на доске уменьшает третье число на 1. С новыми тремя числами на доске он снова проделывает ту же операцию, и так далее, до тех пор пока одно из чисел на доске не станет нулём. Чему будет в этот момент равна сумма чисел на Петиной бумажке?