Олимпиадные задачи по математике для 10 класса
Числовая последовательность {<i>x<sub>n</sub></i>} такова, что для каждого <i>n</i> > 1 выполняется условие: <i>x</i><sub><i>n</i>+1</sub> = |<i>x<sub>n</sub>| – x</i><sub><i>n</i>–1</sub>.
Докажите, что последовательность периодическая с периодом 9.
Докажите, что
а) если натуральное число <i>n</i> можно представить в виде <i>n</i> = 4<i>k</i> + 1, то существуют <i>n</i> нечётных натуральных чисел, сумма которых равна их произведению;
б) если <i>n</i> нельзя представить в таком виде, то таких <i>n</i> нечётных натуральных чисел не существует.
<i>k</i> вершин правильного <i>n</i>-угольника закрашены. Закраска называется <i>почти равномерной</i>, если для любого натурального <i>m</i> верно следующее условие: если <i>M</i><sub>1</sub> – множество <i>m</i> расположенных подряд вершин и <i>M</i><sub>2</sub> – другое такое множество, то количество закрашенных вершин в <i>M</i><sub>1</sub> отличается от количества закрашенных вершин в <i>M</i><sub>2</sub> не больше чем на 1. Доказать, что для любых натуральных <i>n</i> и <i>k</i> ≤ <i>n</i> почти равномерная закраска существует и что она единственна с точностью до поворотов закрашенного множест...
На бесконечной клетчатой бумаге отмечено шесть клеток (см. рисунок).
<div align="center"><img src="/storage/problem-media/97775/problem_97775_img_2.gif"></div>На некоторых клетках стоят фишки. Положение фишек разрешается преобразовывать по следующему правилу: если клетки соседняя сверху и соседняя справа от данной фишки обе свободны, то можно поставить в эти клетки по фишке, убрав при этом старую. Ставится цель за некоторое количество таких операций освободить все шесть отмеченных клеток. Можно ли достигнуть этой цели, если а) в исходной позиции имеются всего 6 фишек, и они стоят на отмеченных клетках; б) в исходной позиции имеется всего одна фишка, и она стоит в левой нижней отмеченной клетке.