Олимпиадные задачи по математике - сложность 1-3 с решениями
В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик <i>A</i> прыгает через кузнечика <i>B</i>, то после прыжка он оказывается от <i>B</i> на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?
Квадратный трёхчлен <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>ax</i>² + <i>bx + c</i> таков, что уравнение <i>f</i>(<i>x</i>) = <i>x</i> не имеет вещественных корней. Докажите, что уравнение <i>f</i>(<i>f</i>(<i>x</i>)) = <i>x</i> также не имеет вещественных корней.
Пусть <i>p</i> – произвольное вещественное число. Найдите все такие <i>x</i>, что сумма кубических корней из чисел 1 – <i>x</i> и 1 + <i>x</i> равна <i>p</i>.
а) Докажите, что любая прямая, делящая пополам площадь и периметр треугольника, проходит через центр вписанной окружности.
б) Докажите аналогичное утверждение для любого описанного многоугольника.