Олимпиадные задачи по математике для 11 класса

Разность двух углов треугольника больше $90^{\circ}$. Докажите, что отношение радиусов его описанной и вписанной окружностей больше 4.

Пусть $X$ — некоторая фиксированная точка на стороне $AC$ треугольника $ABC$ ($X$ отлична от $A$ и $C$). Произвольная окружность, проходящая через $X$ и $B$, пересекает отрезок $AC$ и описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $P$ и $Q$, отличных от $X$ и $B$. Докажите, что все возможные прямые $PQ$ проходят через одну точку.

В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $CL$. Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ пересекает отрезок $CL$ в точке $K$.

Докажите, что описанные окружности треугольников $ABC$ и $AKL$ касаются.

Прямая <i>l</i> перпендикулярна одной из медиан треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам этого треугольника пересекают прямую <i>l</i> в трёх точках. Докажите, что одна из них является серединой отрезка, образованного двумя оставшимися.