Олимпиадные задачи по математике для 8 класса - сложность 2-3 с решениями
Хорда окружности удалена от центра на расстояние <i>h</i>. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, две другие — на хорде. Чему равна разность длин сторон квадратов?
На сторонах <i>BC</i> и <i>CD</i> квадрата <i>ABCD</i> взяты точки <i>E</i> и <i>F</i>, причём ∠<i>EAF</i> = 45°. Отрезки <i>AE</i> и <i>AF</i> пересекают диагональ <i>BD</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>.
Докажите, что <i>S<sub>AEF</sub></i> = 2<i>S<sub>APQ</sub></i>.
Через произвольную точку <i>P</i> стороны <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> параллельно его медианам <i>AK</i> и <i>CL</i> проведены прямые, пересекающие стороны <i>BC</i> и <i>AB</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> соответственно. Докажите, что медианы <i>AK</i> и <i>CL</i> делят отрезок <i>EF</i> на три равные части.