Олимпиадные задачи по математике для 11 класса - сложность 4-5 с решениями
Проведем через основание биссектрисы угла<i> A </i>разностороннего треугольника<i> ABC </i>отличную от стороны<i> BC </i>касательную к вписанной в треугольник окружности. Точку ее касания с окружностью обозначим через<i> K<sub>a</sub> </i>. Аналогично построим точки<i> K<sub>b</sub> </i>и<i> K<sub>c</sub> </i>. Докажите, что три прямые, соединяющие точки<i> K<sub>a</sub> </i>,<i> K<sub>b</sub> </i>и<i> K<sub>c</sub> </i>с серединами сторон<i> BC </i>,<i> CA </i>и<i> AB </i>соответственно, имеют общую точку, причем эта точка лежит на вписанной окружности.
Муха летает внутри правильного тетраэдра с ребром <i>a</i>. Какое наименьшее расстояние она должна пролететь, чтобы побывать на каждой грани и вернуться в исходную точку?
На рёбрах произвольного тетраэдра выбрано по точке. Через каждую тройку точек, лежащих на рёбрах с общей вершиной, проведена плоскость. Докажите, что если три из четырёх проведённых плоскостей касаются вписанного в тетраэдр шара, то и четвёртая плоскость также его касается.
Докажите, что если для чисел <i>p</i><sub>1</sub>, <i>p</i><sub>2</sub>, <i>q</i><sub>1</sub> и <i>q</i><sub>2</sub> выполнено неравенство (<i>q</i><sub>1</sub> – <i>q</i><sub>2</sub>)² + (<i>p</i><sub>1</sub> – <i>p</i><sub>2</sub>)(<i>p</i><sub>1</sub><i>q</i><sub>2</sub> – <i>p</i><sub>2</sub><i>q</i><sub>1</sub>) < 0, то квадратные трёхчлены
<i>x</i>² + <i>p</i><sub>1</sub><i>x</i> + <i>q</i><sub>1</sub> и <i>x</i&...