Олимпиадные задачи по математике для 3-9 класса - сложность 2 с решениями
Приведённый квадратный трёхчлен <i>P</i>(<i>x</i>) таков, что многочлены <i>P</i>(<i>x</i>) и <i>P</i>(<i>P</i>(<i>P</i>(<i>x</i>))) имеют общий корень. Докажите, что <i>P</i>(0)<i>P</i>(1) = 0.
В коммерческом турнире по футболу участвовало пять команд. Каждая должна была сыграть с каждой из остальных ровно один матч. В связи с финансовыми трудностями организаторы некоторые игры отменили. В итоге оказалось, что все команды набрали различное число очков и ни одна команда в графе набранных очков не имеет нуля. Какое наименьшее число игр могло быть сыграно в турнире, если за победу начислялось три очка, за ничью – одно, за поражение – ноль?
На доску выписали все собственные делители некоторого составного натурального числа <i>n</i>, увеличенные на 1. Найдите все такие числа <i>n</i>, для которых числа на доске окажутся всеми собственными делителями некоторого натурального числа <i>m</i>.
Существуют ли такие целые числа<i>a</i>и<i>b</i>, что а) уравнение <i>x</i>² +<i>ax + b</i>= 0 не имеет корней, а уравнение [<i>x</i>²] +<i>ax + b</i>= 0 имеет? б) уравнение <i>x</i>² + 2<i>ax + b</i>= 0 не имеет корней, а уравнение [<i>x</i>²] + 2<i>ax + b</i>= 0 имеет?