Олимпиадные задачи по математике для 6-11 класса

В клетках бесконечного листа клетчатой бумаги записаны действительные числа. Рассматриваются две фигуры, каждая из которых состоит из конечного числа клеток. Фигуры разрешается перемещать параллельно линиям сетки на целое число клеток. Известно, что для любого положения первой фигуры сумма чисел, записанных в накрываемых ею клетках, положительна. Докажите, что существует положение второй фигуры, при котором сумма чисел в накрываемых ею клетках положительна.

Точка <i>O</i> – основание высоты четырёхугольной пирамиды. Сфера с центром <i>O</i> касается всех боковых граней пирамиды. Точки <i>A, B, C</i> и <i>D</i> взяты последовательно по одной на боковых ребрах пирамиды так, что отрезки <i>AB, BC</i> и <i>CD</i> проходят через три точки касания сферы с гранями.

Докажите, что отрезок <i>AD</i> проходит через четвёртую точку касания.