Олимпиадные задачи по математике для 10 класса - сложность 3 с решениями
Моток ниток проткнули насквозь 72 цилиндрическими спицами радиуса 1 каждая, в результате чего он приобрел форму цилиндра радиуса 6. Могла ли высота этого цилиндра оказаться также равной 6?
В основании <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i> пирамиды <i>SA</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A<sub>n</sub></i> лежит точка <i>O</i>, причём <i>SA</i><sub>1</sub> = <i>SA</i><sub>2</sub> = ... = <i>SA<sub>n</sub></i> и ∠<i>SA</i><sub>1</sub><i>O</i> = ∠<i>SA</i><sub>2</sub><i>O</i> = ... = ∠<i>SA<sub>n</sub>O</i>.
При каком наименьшем значении <i>n</i> отсюда следует, что <i>SO</i> – высота пирамиды?
Докажите, что любой квадратный трёхчлен можно представить в виде суммы двух квадратных трёхчленов с нулевыми дискриминантами.
Сумма модулей членов конечной арифметической прогрессии равна 250. Если все ее члены увеличить на 1 или все ее члены увеличить на 2, то в обоих случаях сумма модулей членов полученной прогрессии будет также равна 250. Какие значения при этих условиях может принимать величина<i>n</i><sup>2</sup><i>d</i>, где<i>d</i>- разность прогрессии, а<i>n</i>- число ее членов?
Имеются чашечные весы, которые находятся в равновесии, если разность масс на их чашах не превосходит 1 г, а также гири массами ln 3, ln 4, ..., ln 79 г.
Можно ли разложить все эти гири на чаши весов так, чтобы весы находились в равновесии?