Олимпиадные задачи по математике для 3-8 класса - сложность 4 с решениями
Фиксированы две окружности <i>w</i><sub>1</sub> и <i>w</i><sub>2</sub>, одна их внешняя касательная <i>l</i> и одна их внутренняя касательная <i>m</i>. На прямой <i>m</i> выбирается точка <i>X</i>, а на прямой <i>L</i> строятся точки <i>Y</i> и <i>Z</i> так, что <i>XY</i> и <i>XZ</i> касаются <i>w</i><sub>1</sub> и <i>w</i><sub>2</sub> соответственно, а треугольник <i>XYZ</i> содержит окружности <i>w</i><sub>1</sub> и <i>w</i><sub>2</sub>. Докажите, что центры окружностей, вписанных в треугольники <i>XYZ</i>, лежат...
В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD</i> провели биссектрисы <i>l<sub>a</sub>, l<sub>b</sub>, l<sub>c</sub></i> и <i>l<sub>d</sub></i> внешних углов при вершинах <i>A, B, C</i> и <i>D</i> соответственно. Точки пересечения прямых <i>l<sub>a</sub></i> и <i>l<sub>b</sub>, l<sub>b</sub></i> и <i>l<sub>c</sub>, l<sub>c</sub></i> и <i>l<sub>d</sub>, l<sub>d</sub></i> и <i>l<sub>a</sub></i> обозначили через <i>K, L, M</i> и <i>N</i>. Известно, что три перпендикуляра, опущенных из точки <i>K</i> на <i...
Дано натуральное число $n$. Натуральное число $m$ назовём<i>удачным</i>, если найдутся $m$ последовательных натуральных чисел, сумма которых равна сумме $n$ следующих за ними натуральных чисел. Докажите, что количество удачных чисел нечётно.