Олимпиадные задачи по математике для 10 класса
Функция<i> f</i>(<i>x</i>)определена и удовлетворяет соотношению <center>(<i>x-</i>1)<i>f</i>(<i><img src="/storage/problem-media/109577/problem_109577_img_2.gif"></i>)<i>-f</i>(<i>x</i>)<i>=x
</i></center> при всех<i> x<img src="/storage/problem-media/109577/problem_109577_img_3.gif"></i>1. Найдите все такие функции.
Две окружности<i>S</i><sub>1</sub>и<i>S</i><sub>2</sub>касаются внешним образом в точке<i>F</i>. Их общая касательная касается<i>S</i><sub>1</sub>и<i>S</i><sub>2</sub>в точках<i>A</i>и<i>B</i>соответственно. Прямая, параллельная<i>AB</i>, касается окружности<i>S</i><sub>2</sub>в точке<i>C</i>и пересекает окружность<i>S</i><sub>1</sub>в точках<i>D</i>и<i>E</i>. Докажите, что общая хорда описанных окружностей треугольников<i>ABC</i>и<i>BDE</i>, проходит через точку<i>F</i>.
Докажите, что уравнение <i>x</i>³ + <i>y</i>³ = 4(<i>x</i>²<i>y + xy</i>² + 1) не имеет решений в целых числах.