Олимпиадные задачи по математике для 4-8 класса
Дан треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub> – середины сторон <i>BC</i>, <i>AC</i> и <i>AB</i> соответственно. На продолжении отрезка <i>C</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>1</sub> отложен отрезок <i>B</i><sub>1</sub><i>K</i> по длине равный <img align="middle" src="/storage/problem-media/116500/problem_116500_img_2.gif">. Известно, <i>AA</i><sub>1</sub> = <i>BC</i>. Докажите, что <i>AB = BK</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>C</i> – прямой. На стороне <i>AC</i> нашлась такая точка <i>D</i>, а на отрезке <i>BD</i> – такая точка <i>K</i>, что ∠<i>B</i> = ∠<i>KAD</i> = ∠<i>AKD</i>.
Докажите, что <i>BK</i> = 2<i>DC</i>.
Дана таблица <i>n</i>×<i>n</i>, заполненная числами по следующему правилу: в клетке, стоящей в <i>i</i>-й строке и <i>j</i>-м столбце таблицы записано число <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/98139/problem_98139_img_2.gif"> В таблице зачеркнули <i>n</i> чисел таким образом, что никакие два зачёркнутых числа не находятся в одном столбце или в одной строке. Докажите, что сумма зачёркнутых чисел не меньше 1.