Олимпиадные задачи по математике для 1-9 класса - сложность 2 с решениями

На плоскости дано множество из<i> n<img src="/storage/problem-media/109961/problem_109961_img_2.gif"></i>9точек. Для любых 9 его точек можно выбрать две окружности так, что все эти точки окажутся на выбранных окружностях. Докажите, что все<i> n </i>точек лежат на двух окружностях.

На тарелке лежат 9 разных кусочков сыра. Всегда ли можно разрезать один из них на две части так, чтобы полученные 10 кусочков делились бы на две порции равной массы по 5 кусочков в каждой?

Имеется 25 кусков сыра разного веса. Всегда ли можно один из этих кусков разрезать на две части и разложить сыр в два пакета так, что части разрезанного куска окажутся в разных пакетах, веса пакетов будут одинаковы и число кусков в пакетах также будет одинаково?

В стране некоторые пары городов соединены односторонними прямыми авиарейсами (между любыми двумя городами есть не более одного рейса). Скажем, что город <i>A доступен</i> для города <i>B</i>, если из <i>B</i> можно долететь в <i>A</i>, возможно, с пересадками. Известно, что для любых двух городов <i>P</i> и <i>Q</i> существует город <i>R</i>, для которого и <i>P</i>, и <i>Q</i> доступны. Докажите, что существует город, для которого доступны все города страны. (Считается, что город доступен для себя.)