Олимпиадные задачи из источника «2016-2017» для 7-8 класса - сложность 3-5 с решениями

В некоторых клетках квадрата 200×200 стоит по одной фишке – красной или синей; остальные клетки пусты. Одна фишка <i>видит</i> другую, если они находятся в одной строке или одном столбце. Известно, что каждая фишка видит ровно пять фишек другого цвета (и, возможно, некоторое количество фишек своего цвета). Найдите наибольшее возможное количество фишек.

Изначально на столе лежат три кучки из 100, 101 и 102 камней соответственно. Илья и Костя играют в следующую игру. За один ход каждый из них может взять себе один камень из любой кучи, кроме той, из которой он брал камень на своем предыдущем ходе (при своём первом ходе каждый игрок может брать камень из любой кучки). Ходы игроки делают по очереди, начинает Илья. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может выиграть, как бы ни играл соперник?

Каждая клетка доски 100×100 окрашена либо в чёрный, либо в белый цвет, причём все клетки, примыкающие к границе доски – чёрные. Оказалось, что нигде на доске нет одноцветного клетчатого квадрата 2×2. Докажите, что на доске найдётся клетчатый квадрат 2×2, клетки которого окрашены в шахматном порядке.

Неравнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором  ∠<i>C</i> = 60°,  вписан в окружность Ω. На биссектрисе угла <i>A</i> выбрана точка <i>A'</i>, а на биссектрисе угла <i>B</i> – точка <i>B'</i> так, что  <i>AB' || BC</i>  и  <i>B'A || AC</i>.  Прямая <i>A'B'</i> пересекает Ω в точках <i>D</i> и <i>E</i>. Докажите, что треугольник <i>CDE</i> равнобедренный.

Верно ли, что для любых трёх различных натуральных чисел <i>a, b</i> и <i>c</i> найдётся квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами и положительным старшим коэффициентом, принимающий в некоторых целых точках значения <i>a</i>³, <i>b</i>³ и <i>c</i>³?

Сто гномов, веса которых равны 1, 2, 3, ..., 100 фунтов, собрались на левом берегу реки. Плавать они не умеют, но на этом же берегу находится гребная лодка грузоподъемностью 100 фунтов. Из-за течения плыть обратно трудно, поэтому у каждого гнома хватит сил грести с правого берега на левый не более одного раза (грести в лодке достаточно любому из гномов; гребец в течение одного рейса не меняется). Смогут ли все гномы переправиться на правый берег?

Дана равнобокая трапеция <i>ABCD</i> с основаниями <i>BC</i> и <i>AD</i>. Окружность ω проходит через вершины <i>B</i> и <i>C</i> и вторично пересекает сторону AB и диагональ <i>BD</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Касательная, проведённая к окружности ω в точке <i>C</i>, пересекает луч <i>AD</i> в точке <i>Z</i>. Докажите, что точки <i>X, Y</i> и <i>Z</i> лежат на одной прямой.

Паша выбрал 2017 (не обязательно различных) натуральных чисел <i>a</i>₁, <i>a</i>₂, ..., <i>a</i>₂₀₁₇ и играет сам с собой в следующую игру. Изначально у него есть неограниченный запас камней и 2017 больших пустых коробок. За один ход Паша добавляет в любую коробку (по своему выбору) <i>a</i>₁ камней, в любую из оставшихся коробок (по своему выбору) – <i>a</i>₂ камней, ..., наконец, в оставшуюся коробку – <i>a</i>₂₀₁₇ камней. Пашина цель – добиться того, чтобы после некоторого хода во всех коробках стало поровну камней. Мог ли он выбрать числа так, чтобы цели можно было добиться за 4...