Олимпиадные задачи из источника «2016-2017» для 11 класса - сложность 2 с решениями

Число <i>x</i> таково, что обе суммы  <i>S</i> = sin 64<i>x</i> + sin 65<i>x</i>  и  <i>C</i> = cos 64<i>x</i> + cos 65<i>x</i>  – рациональные числа.

Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.

Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен степени  <i>n</i> ≥ 2  с неотрицательными коэффициентами, а <i>a, b</i> и <i>c</i> – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.

Докажите, что числа  <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66160/problem_66160_img_2.gif">  также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.

На координатной плоскости нарисованы графики двух приведённых квадратных трёхчленов и две непараллельные прямые <i>l</i>₁ и <i>l</i>₂. Известно, что отрезки, высекаемые графиками на <i>l</i>₁, равны, и отрезки, высекаемые графиками на <i>l</i>₂, также равны. Докажите, что графики трёхчленов совпадают.

В произведении семи натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 13 раз?

Изначально на доске записаны несколько натуральных чисел (больше одного). Затем каждую минуту на доску дописывается число, равное сумме квадратов всех уже записанных на ней чисел (так, если бы на доске изначально были записаны числа 1, 2, 2, то на первой минуте было бы дописано число  1² + 2² + 2²). Докажите, что сотое дописанное число имеет хотя бы 100 различных простых делителей.

Окружность с центром <i>I</i> вписана в четырёхугольник <i>ABCD</i>. Лучи <i>BA</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а лучи <i>AD</i> и <i>BC</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Известно, что точка <i>P</i> лежит на описанной окружности ω треугольника <i>AIC</i>. Докажите, что точка <i>Q</i> тоже лежит на окружности ω.

В произведении пяти натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно в 15 раз?

Вася задумал восемь клеток шахматной доски, никакие две из которых не лежат в одной строке или в одном столбце. За ход Петя выставляет на доску восемь ладей, не бьющих друг друга, а затем Вася указывает все ладьи, стоящие на задуманных клетках. Если количество ладей, указанных Васей на этом ходе, чётно (то есть 0, 2, 4, 6 или 8), то Петя выигрывает; иначе все фигуры снимаются с доски и Петя делает следующий ход. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть?

В произведении трёх натуральных чисел каждый сомножитель уменьшили на 3. Могло ли произведение при этом увеличиться ровно на 2016?