Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями
Изначально на доске написано натуральное число <i>N</i>. В любой момент Миша может выбрать число <i>a</i> > 1 на доске, стереть его и дописать все натуральные делители <i>a</i>, кроме него самого (на доске могут появляться одинаковые числа). Через некоторое время оказалось, что на доске написано <i>N</i>² чисел. При каких <i>N</i> это могло случиться?
В некоторых клетках квадрата 200×200 стоит по одной фишке – красной или синей; остальные клетки пусты. Одна фишка <i>видит</i> другую, если они находятся в одной строке или одном столбце. Известно, что каждая фишка видит ровно пять фишек другого цвета (и, возможно, некоторое количество фишек своего цвета). Найдите наибольшее возможное количество фишек.
Число <i>x</i> таково, что обе суммы <i>S</i> = sin 64<i>x</i> + sin 65<i>x</i> и <i>C</i> = cos 64<i>x</i> + cos 65<i>x</i> – рациональные числа.
Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.
Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен степени <i>n</i> ≥ 2 с неотрицательными коэффициентами, а <i>a, b</i> и <i>c</i> – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.
Докажите, что числа <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66160/problem_66160_img_2.gif"> также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.
Остроугольный равнобедренный треугольник <i>ABC</i> (<i>AB = AC</i>) вписан в окружность с центром <i>O</i>. Лучи <i>BO</i> и <i>CO</i> пересекают стороны <i>AC</i> и <i>AB</i> в точках <i>B'</i> и <i>C'</i> соответственно. Через точку <i>C'</i> проведена прямая <i>l</i>, параллельная прямой <i>AC</i>. Докажите, что прямая <i>l</i> касается описанной окружности ω треугольника <i>B'OC</i>.
На координатной плоскости нарисованы графики двух приведённых квадратных трёхчленов и две непараллельные прямые <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub>. Известно, что отрезки, высекаемые графиками на <i>l</i><sub>1</sub>, равны, и отрезки, высекаемые графиками на <i>l</i><sub>2</sub>, также равны. Докажите, что графики трёхчленов совпадают.