Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» для 11 класса - сложность 1-5 с решениями
Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Обозначим через <i>I<sub>A</sub>, I<sub>B</sub>, I<sub>C</sub></i> и <i>I<sub>D</sub></i> центры вписанных окружностей ω<sub><i>A</i></sub>, ω<sub><i>B</i></sub>, ω<sub><i>C</i></sub> и ω<sub><i>D</i></sub> треугольников <i>DAB, ABC, BCD</i> и <i>CDA</i> соответственно. Оказалось, что ∠<i>BI<sub>A</sub>A</i> + ∠<i>I<sub>C</sub>I<sub>A</sub>I<sub>D</sub></i> = 180°. Докажите, что ∠<i>BI<sub>B</sub>A</i> + ∠<i>I<sub>C</sub>I<sub>...
Изначально на доске написано натуральное число <i>N</i>. В любой момент Миша может выбрать число <i>a</i> > 1 на доске, стереть его и дописать все натуральные делители <i>a</i>, кроме него самого (на доске могут появляться одинаковые числа). Через некоторое время оказалось, что на доске написано <i>N</i>² чисел. При каких <i>N</i> это могло случиться?
В некоторых клетках квадрата 200×200 стоит по одной фишке – красной или синей; остальные клетки пусты. Одна фишка <i>видит</i> другую, если они находятся в одной строке или одном столбце. Известно, что каждая фишка видит ровно пять фишек другого цвета (и, возможно, некоторое количество фишек своего цвета). Найдите наибольшее возможное количество фишек.
У фокусника и помощника есть колода с картами; одна сторона ("рубашка") у всех карт одинакова, а другая окрашена в один из 2017 цветов (в колоде по 1000000 карт каждого цвета). Фокусник и помощник собираются показать следующий фокус. Фокусник выходит из зала, а зрители выкладывают на стол в ряд <i>n</i> > 1 карт рубашками вниз. Помощник смотрит на эти карты, а затем все, кроме одной, переворачивает рубашкой вверх, не меняя их порядка. Затем входит фокусник, смотрит на стол, указывает на одну из закрытых карт и называет её цвет. При каком наименьшем <i>k</i> фокусник может заранее договориться с помощником так, чтобы фокус гарантированно удался?
Число <i>x</i> таково, что обе суммы <i>S</i> = sin 64<i>x</i> + sin 65<i>x</i> и <i>C</i> = cos 64<i>x</i> + cos 65<i>x</i> – рациональные числа.
Докажите, что в одной из этих сумм оба слагаемых рациональны.
Неравнобедренный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность с центром <i>O</i> и описан около окружности с центром <i>I</i>. Точка <i>B'</i>, симметричная точке B относительно прямой <i>OI</i>, лежит внутри угла <i>ABI</i>. Докажите, что касательные к описанной окружности треугольника <i>BB'I</i>, проведённые в точках <i>B'</i> и <i>I</i>, пересекаются на прямой <i>AC</i>.
Пусть <i>P</i>(<i>x</i>) – многочлен степени <i>n</i> ≥ 2 с неотрицательными коэффициентами, а <i>a, b</i> и <i>c</i> – длины сторон некоторого остроугольного треугольника.
Докажите, что числа <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/66160/problem_66160_img_2.gif"> также являются длинами сторон некоторого остроугольного треугольника.
На доске выписаны в ряд <i>n</i> положительных чисел <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, ..., <i>a<sub>n</sub></i>. Вася хочет выписать под каждым числом <i>a<sub>i</sub></i> число <i>b<sub>i</sub> ≥ a<sub>i</sub></i> так, чтобы для каждых двух из чисел <i>b</i><sub>1</sub>, <i>b</i><sub>2</sub>, ..., <i>b<sub>n</sub></i> отношение одного из них к другому было целым. Докажите, что Вася может выписать требуемые числа так, чтобы выполнялось неравенство <i>b</i><sub>1</sub><i>b</i><sub>2</sub>...<i>b<sub>n</...
Остроугольный равнобедренный треугольник <i>ABC</i> (<i>AB = AC</i>) вписан в окружность с центром <i>O</i>. Лучи <i>BO</i> и <i>CO</i> пересекают стороны <i>AC</i> и <i>AB</i> в точках <i>B'</i> и <i>C'</i> соответственно. Через точку <i>C'</i> проведена прямая <i>l</i>, параллельная прямой <i>AC</i>. Докажите, что прямая <i>l</i> касается описанной окружности ω треугольника <i>B'OC</i>.
На координатной плоскости нарисованы графики двух приведённых квадратных трёхчленов и две непараллельные прямые <i>l</i><sub>1</sub> и <i>l</i><sub>2</sub>. Известно, что отрезки, высекаемые графиками на <i>l</i><sub>1</sub>, равны, и отрезки, высекаемые графиками на <i>l</i><sub>2</sub>, также равны. Докажите, что графики трёхчленов совпадают.
Существует ли такая бесконечная возрастающая последовательность <i>a</i><sub>1</sub>, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ... натуральных чисел, что сумма любых двух различных членов последовательности взаимно проста с суммой любых трёх различных членов последовательности?