Олимпиадные задачи из источника «2012-2013» - сложность 4 с решениями

В треугольник <i>ABC</i> вписана окружность ω с центром в точке <i>I</i>. Около треугольника <i>AIB</i> описана окружность Г. Окружности ω и Г пересекаются в точках <i>X</i> и <i>Y</i>. Общие касательные к окружностям ω и Г пересекаются в точке <i>Z</i>. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>ABC</i> и <i>XYZ</i>, касаются.

На каждой из 2013 карточек написано по числу, все эти 2013 чисел различны. Карточки перевёрнуты числами вниз. За один ход разрешается указать на десять карточек, и в ответ сообщат одно из чисел, написанных на них (неизвестно, какое).

Для какого наибольшего <i>t</i> гарантированно удастся найти <i>t</i> карточек, про которые известно, какое число написано на каждой из них?

Внутри вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> отмечены такие точки <i>P</i> и <i>Q</i>, что  ∠<i>PDC</i> + ∠<i>PCB</i> = ∠<i>PAB</i> + ∠<i>PBC</i> = ∠<i>QCD</i> + ∠<i>QDA</i> = ∠<i>QBA</i> + ∠<i>QAD</i> = 90°.

Докажите, что прямая <i>PQ</i> образует равные углы с прямыми <i>AD</i> и <i>BC</i>.