Олимпиадные задачи из источника «2003-2004» для 7-8 класса - сложность 2 с решениями

Каждая целочисленная точка плоскости окрашена в один из трех цветов, причем все три цвета присутствуют. Докажите, что найдется прямоугольный треугольник с вершинами трех разных цветов.

Пусть <i>ABCD</i> – четырёхугольник с параллельными сторонами <i>AD</i> и <i>BC; M</i> и <i>N</i> – середины его сторон <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно. Прямая <i>MN</i> делит пополам отрезок, соединяющий центры окружностей, описанных около треугольников <i>ABC</i> и <i>ADC</i>. Докажите, что <i>ABCD</i> – параллелограмм.