Олимпиадные задачи из источника «Заключительный этап» - сложность 1-2 с решениями
На доску последовательно выписываются числа <i>a</i><sub>1</sub> = 1, <i>a</i><sub>2</sub>, <i>a</i><sub>3</sub>, ... по следующим правилам: <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>a<sub>n</sub></i> – 2, если число <i>a<sub>n</sub></i> – 2 – натуральное и еще не выписано на доску, в противном случае <i>a</i><sub><i>n</i>+1</sub> = <i>a<sub>n</sub></i> + 3. Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.
Пусть <i>M</i> – конечное множество чисел. Известно, что среди любых трёх его элементов найдутся два, сумма которых принадлежит <i>M</i>.
Какое наибольшее число элементов может быть в <i>M</i>?