Олимпиадные задачи из источника «21 (1998), математика» для 2-9 класса - сложность 2 с решениями
21 (1998), математика
НазадВ треугольнике <i>ABC</i> точки <i>A', B', C'</i> лежат на сторонах <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> соответственно. Известно, что ∠<i>AC'B'</i> = ∠<i>B'A'C</i>, ∠<i>CB'A'</i> = ∠<i>A'C'B</i>, ∠<i>BA'C'</i> = ∠<i>C'B'A</i>. Докажите, что точки <i> A', B', C'</i> – середины сторон треугольника <i>ABC</i>.
Куб со стороной 10 разбит на 1000 кубиков с ребром 1. В каждом кубике записано число, при этом сумма чисел в каждом столбике из 10 кубиков (в любом из трёх направлений) равна 0. В одном из кубиков (обозначим его через <i>A</i>) записана единица. Через кубик <i>A</i> проходит три <i>слоя</i>, параллельных граням куба (толщина каждого слоя равна 1). Найдите сумму всех чисел в кубиках, не лежащих в этих слоях.
{<i>a</i><sub>1</sub>,<i>a</i><sub>2</sub>, ...,<i>a</i><sub>20</sub>} — набор целых положительных чисел. Строим новый набор чисел {<i>b</i><sub>0</sub>,<i>b</i><sub>1</sub>,<i>b</i><sub>2</sub>, ...} по следующему правилу: <i>b</i><sub>0</sub>— количество чисел исходного набора, которые больше 0, <i>b</i><sub>1</sub>— количество чисел исходного набора, которые больше 1, <i>b</i><sub>2</sub>— количество чисел исходного набора, которые больше 2, и т.д., пока не пойдут нули. Докажите, что сумма всех чисел исходного набора равна сумме всех чисел нового набора.