Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 7-8 класс» для 7 класса - сложность 1-4 с решениями

Рассматривается последовательность слов из букв "A" и "B". Первое слово – "A", второе – "B". <i>k</i>-е слово получается приписыванием к (<i>k</i>–2)-му слову справа (<i>k</i>–1)-го (так что начало последовательности имеет вид:  "A", "B", "AB", "BAB", "ABBAB", ...).  Может ли в последовательности встретиться "периодическое" слово, то есть слово, состоящее из нескольких (по меньшей мере двух) одинаковых кусков, идущих друг за другом, и только из них?

В наборе имеются гири массой 1 г, 2 г, 4 г, ... (все степени числа 2), причём среди гирь могут быть одинаковые. На две чашки весов положили гири так, чтобы наступило равновесие. Известно, что на левой чашке все гири различны. Докажите, что на правой чашке не меньше гирь, чем на левой.

<i>a, b</i> и <i>c</i> – целые числа. Докажите, что если  <i>a = b + c</i>,  то  <i>a</i>⁴ + <i>b</i>⁴ + <i>c</i>⁴  есть удвоенный квадрат целого числа.