Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, 9-10 класс» для 11 класса - сложность 2-3 с решениями

Игра в "супершахматы" ведётся на доске размером 100×100, и в ней участвует 20 различных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, что любая фигура с любого места бьет не более 20 полей (но больше о правилах ничего не сказано, например, если фигуру <i>А</i> передвинуть, то о том, как изменится множество битых полей мы ничего не знаем). Докажите, что можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.

В треугольнике <i>ABC</i> проведены высота <i>AH</i> и биссектриса <i>BE</i>. Известно, что угол <i>BEA</i> равен 45°. Докажите, что угол <i>EHC</i> равен 45°.

Дан выпуклый четырёхугольник и точка <i>M</i> внутри него. Доказать, что сумма расстояний от точки <i>M</i> до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.

Двое бросают монету: один бросил ее 10 раз, другой – 11 раз.

Чему равна вероятность того, что у второго монета упала орлом большее число раз, чем у первого?