Олимпиадные задачи из источника «весенний тур, основной вариант, 9-10 класс» для 8-11 класса - сложность 3 с решениями

Из вершин основания тетраэдра в боковых гранях провели высоты, а затем в каждой из боковых граней основания двух лежащих в ней высот соединили прямой. Докажите, что эти три прямые параллельны одной плоскости.

а) Во всех клетках квадрата 20×20 стоят солдатики. Ваня называет число <i>d</i>, а Петя переставляет солдатиков так, чтобы каждый передвинулся на расстояние не меньше <i>d</i> (расстояние берётся между центрами старой и новой клеток). При каких <i>d</i> это возможно?

б) Эта же задача для квадрата 21×21.

<i>F</i>(<i>x</i>) – возрастающая функция, определённая на отрезке  [0, 1].  Известно, что область её значений принадлежит отрезку  [0, 1].  Доказать, что, каково бы ни было натуральное <i>n</i>, график функции можно покрыть <i>N</i> прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна ¹/_<i>n</i>². (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)