Олимпиадные задачи из источника «осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс» - сложность 1-4 с решениями

Петя и Вася по очереди пишут на доску дроби вида $1/n$, где $n$ — натуральное, начинает Петя. Петя за ход пишет только одну дробь, а Вася за первый ход — одну, за второй ход — две, и так каждым следующим ходом на одну дробь больше. Вася хочет, чтобы после какого-то хода сумма всех дробей на доске была натуральным числом. Сможет ли Петя помешать ему?

Существует ли прямоугольник, который можно разрезать на 100 прямоугольников, которые все ему подобны, но среди которых нет двух одинаковых?

Окружности $\alpha$ и $\beta$ с центрами в точках $A$ и $B$ соответственно пересекаются в точках $C$ и $D$. Отрезок $AB$ пересекает окружности $\alpha$ и $\beta$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Луч $DK$ вторично пересекает окружность $\beta$ в точке $N$, а луч $DL$ вторично пересекает окружность $\alpha$ в точке $M$. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника $KLMN$ совпадает с центром вписанной окружности треугольника $ABC$.

Барон Мюнхгаузен придумал теорему: если многочлен $x^n - a x^{n-1} + bx^{n-2} + \ldots $ имеет $n$ натуральных корней, то на плоскости найдутся $a$ прямых, у которых ровно $b$ точек пересечения друг с другом. Не ошибается ли барон?

Даны $n$ натуральных чисел. Боря для каждой пары этих чисел записал на чёрную доску их среднее арифметическое, а на белую доску — их среднее геометрическое, и для каждой пары хотя бы одно из этих двух средних было целым. Докажите, что хотя бы на одной из досок все числа целые.

За каждым из двух круглых столиков сидит по $n$ гномов. Каждый дружит только со своими соседями по столику слева и справа. Добрый волшебник хочет рассадить гномов за один круглый стол так, чтобы каждые два соседних гнома дружили между собой. Он имеет возможность подружить $2n$ пар гномов (гномы в паре могут быть как с одного столика, так и с разных), но после этого злой волшебник поссорит между собой $n$ пар гномов из этих $2n$ пар. При каких $n$ добрый волшебник может добиться желаемого, как бы ни действовал злой волшебник?