Олимпиадные задачи из источника «9-10 класс» для 10 класса - сложность 3-4 с решениями

Марсианское метро на плане имеет вид замкнутой самопересекающейся линии, причём в одной точке может происходить только одно самопересечение. (Линия нигде не касается сама себя.) Доказать, что тоннель с таким планом можно прорыть так, что поезд будет проходить попеременно под и над пересекающей линией.

а) Из произвольной точки <i>M</i> внутри правильного <i>n</i>-угольника проведены перпендикуляры  <i>MK</i>₁, <i>MK</i>₂, ..., <i>MK_n</i>  к его сторонам (или их продолжениям). Докажите, что   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97793/problem_97793_img_2.gif">   (<i>O</i> – центр <i>n</i>-угольника). б) Докажите, что сумма векторов, проведённых из любой точки <i>M</i> внутри правильного тетраэдра перпендикулярно к его граням, равна   <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/97793/problem_97793_img_3.gif">   где <i>O</i> – центр тетраэдра....

Докажите для каждого натурального числа  <i>n</i> > 1  равенство:   [<i>n</i>^1/2] + [<i>n</i>^1/3] + ... + [<i>n</i>^1/<i>n</i>] = [log_₂<i>n</i>] + [log_₃<i>n</i>] + ... + [log<i>_nn</i>].