Решение 1:   Будем рассматривать всевозможные пары букв, входящих в слово. Назовём пары a...b, b...c и c...a хорошими, пары a...c, c...b и b...a – плохими.   а) Рассмотрим, как меняется число пар при добавлении одной карточки. Внутри этой карточки есть две хорошие и одна плохая пары. Поскольку вставляются три разных буквы "в одно место", то с каждой из имевшихся уже букв они образуют три новые пары: нейтральную, хорошую и плохую. Отсюда ясно, что число хороших пар всегда больше числа плохих. А в палиндроме их должно быть поровну из-за симметрии слова.   б) Как показано в а), каждая красная карточка увеличивает разность между числом хороших и плохих пар на единицу, а каждая синяя – уменьшает на единицу. Поскольку в палиндроме число хороших пар равно числу плохих, то и число красных карточек равно числу синих.

Решение 2:   Рассмотрим на плоскости треугольную решётку из равных треугольников, раскрасим её в шахматном порядке, и выберем на ней стартовый узел O. Сопоставим буквам a, b, c сдвиг на единичные векторы в трёх направлениях (см. рис.) и будем рассматривать слово как описание пути, начинающегося в точке O. При этом любая из троек abc, bca, cab добавляет в путь обход вокруг тёмного треугольника, а из троек acb, cba, bac – вокруг светлого. Путь по-прежнему остаётся замкнутым, хотя некоторые рёбра, возможно, проходятся несколько раз. Если замкнутый путь оказался палиндромом, то первое и последнее ребро совпадают по направлению, но одно начинается в O, а другое в O заканчивается. Значит, соответствующие отрезки центрально симметричны относительно O. Точно так же центрально симметричны второй и предпоследний отрезки пути, и т. д. Так и весь путь оказывается центрально симметричным.

  Подсчитаемориентированную площадь, охватываемую замкнутой ломаной. ВыберемOза начало координат. Тогда еслиABиCD– центрально симметричные отрезки, а векторыABиCDсонаправлены, то сумма ориентированных площадейOABиOCDравна 0. Значит, и общая ориентированная площадь равна 0.   Пусть площадь каждого треугольника решетки равна 1. Тогда треугольники первого типа дают вклад 1, а второго типа – вклад –1. Значит,  а) в палиндроме использованы карточки обоих типов, и  б) карточек обоих типов поровну.

а) Нельзя;  б) верно.