Оценка. Возьмём любые две дороги – большие окружности на сфере. Они пересекаются в некоторой точке-узле. Мысленно повернём одну из этих дорог относительно диаметра, содержащего узел, чтобы совпали дороги и направления движения на них. Если в этом эксперименте поезда-дуги пересекутся, то через некоторое время они на самом деле пересекутся в узле, что запрещено. Поэтому сумма длин поездов на этих дорогах не больше 1. Пусть a₁, ..., a_n – суммы длин поездов на n дорогах. Складывая все неравенства вида  a_i + a_j ≤ 1,  где  1 ≤ i < j ≤ n,  получим

(n – 1)(a₁ + ... + a_n) ≤ ½ n(n – 1),  то есть  a₁ + ... + a_n ≤ ⁿ/₂.    Пример. Первый способ.

  На рисунках изображены "проекции" планов дорог на вписанные в сферу:  а) октаэдр (слева);  б) кубоктаэдр (справа). Каждая дорога выделена своим цветом. Рёбра со стрелками – поезда.   (Кубоктаэдр получается из куба соединением середин всех соседних рёбер. Таким образом, проекции дорог – это правильные шестиугольники – сечения бывшего куба.)   Второй способ. б) Рассмотрим правильную четырёхугольную призму, вписанную в данную сферу. Каждая дорога – сечение сферы плоскостью, проходящей через одно из ребер основания и противоположное ребро другого основания призмы. На каждой дороге разместим по одному поезду длины ½. На рисунке изображены "проекции" дорог и поездов на поверхность призмы (каждой дороге соответствует свой цвет).

  а) Достаточно убрать одну из дорог, построенных в п. б).

а) 1,5;  б) 2.